总结内容：
内容包括： 控制系统的时域数学模型、控制系统的复数域数学模型、控制系统的结构图与信号流图、梅逊公式 、闭环系统传递函数、线性系统的时域分析法、一阶系统的时域分析、系统时间响应的性能指标、二阶系统的时域分析、线性系统的稳定性分析、线性系统的根轨迹法、根轨迹绘制、线性系统的频域分析法、典型环节与开环系统的频率特性、频率域稳定判据、稳定裕度、闭环系统的频域性能指标、线性系统的状态空间描述、线性系统的可控性与可观测性、线性定常系统的线性变换、线性定常系统的反馈结构与状态观测器、李雅普诺夫稳定性分析。
提示：本文章是本人结合所学的课程进行总结所写，如果大家感兴趣，直接从目录里找需要的看。本文很长，切忌一口气读完
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前言
简介：
大家好，接着之前的数字电子技术，现在我开始总结自动控制原理。作为电气专业，我们的自控只需要学习第一章至第六章以及第九章这一部分。虽然内容看起来不多，但是真正学起来你会发现它是实打实的难啊，就我个人而言，与其说自控是一门颇具特色的专业课，还不如说更像是一门数学类的课程，而数学类的课程一直以来对我来说都是老大难的问题了。为此秉承着“哪不懂，啃哪”的精神，就算再头疼，我也得先把它总结完，以下便是我对自动控制原理所学知识的理解与总结。
本人学艺不精，有一些知识点地方可能存在瑕疵，希望各位大佬可以多多指教。
提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考
第一章——控制系统导论 一.基本概念反馈控制原理：
（1）反馈（闭环）控制原理：控制装置对被控对象施加的控制作用，是取自被控量的反馈信号，用来不断修正被控量与输入量之间的偏差，从而实现对被控对象进行控制的任务。
（2）反馈：输出量送回至输入端并与输入信号比较的过程。
（3）负反馈：反馈的信号是与输入信号相减而使偏差越来越小。反之，则称为正反馈。
反馈控制系统的组成：测量元件、给定环节、比较环节、放大环节、执行环节、控制环节
自动控制系统的分类
●按控制方式：按给定值操纵的开环控制、按干扰补偿的开环控制、按偏差调节的闭环控制、复合控制:闭环反馈为主，开环补偿为辅。
●按给定值变化规律：恒值系统、随动系统、程序控制系统。
●按系统性能：线性/非线性系统、连续/离散性系统、定常/时变性系统、确定/不确定系统。
自动控制系统的基本要求
稳定性：是保证控制系统正常工作的先决条件。
快速性：动态性能，有指标。
准确性：稳态(过度结束后的）值应尽量与期望值一致。
自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。
常用数学模型：微分方程（或差分方程)、传递函数（或结构图)、频率特性、状态空间表达式（或状态模型)
（1）线性元件的微分方程列写步骤：
①确定系统的输入、输出变量;
②从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理写出各微分方程;
③消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程;最后变换成标准形式。
（2）线性系统的基本特性：非线性系统、线性系统、线性定常系统、线性时变系统
（3）线性定常微分方程的求解方法：经典法、拉氏变换法。零状态响应、零输入响应。
（4）非线性微分方程的线性化：小偏差线性化用泰勒级数展开，略去二阶以上导数项。
严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性,而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。
（5）运动的模态：线性微分方程的解=特解+齐次方程的通解，通解由特征根决定。
（1）传递函数 G（s）的定义：线性定常系统的传递函数零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
（2）性质：
G（s）是复变量S的有理真分式函数，分子多项式的次数m低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数;
G（s）只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关，不反映系统内部任何信息;
G（s）的拉氏变换是系统的脉冲响应。
G（s）是在0初始下定义的，只反应系统的0状态。
2.传递函数的零点和极点
结构图的组成和绘制：
结构图：由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包括:
信号线：表示信号传递通路与方向。
方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。比较点对两个以上的信号进行加减运算。“+”表示相加，“-”表示相减。
引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完
全相同。
结构图的化简：
信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。由源（输入）节点、肼结点（输出）结点、混合结点、前向通路、回路、不接触回路组成。
基本性质：
1)节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“O”表示;
2)信号在支路上沿箭头单向传递;
3)支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号;
4)对一个给定系统，信号流图不是唯一的。
（1）基本概念：
混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路,叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。
回路：起点和终点在同一节点,而且信号通过每一节点不多于一次的闭合
通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用L表示。
不接触回路：回路之间没有公共节点时,称它们为不接触回路。
（2）由系统微分方程绘制信号流图
1)将微分方程通过拉氏变换，得到s的代数方程;
2)每个变量指定一个节点;
3)将方程按照变量的因果关系排列;
4)连接各节点，并标明支路增益。
（3）由系统结构图绘制信号流图
1)用小圆圈标出传递的信号，得到节点。
2)用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。
（4）梅逊公式
基本概念：
典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦。
典型时间响应：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位加速度响应。系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。
过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。
稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。
（1）典型输入信号
一阶系统的数学模型
（1）单位阶跃响应——输入 r(t) = 1(t)，输出 h(t) = 1 - e-t/T， t >0
特点：
●可以用时间常数去度量系统的输出量的数值。
●初始斜率为 1/T
●无超调，稳态误差 ess = 0。
性能指标：
●延迟时间： td = 0.69T
●上升时间： tr = 2.2T
●调节时间： ts = 3T(△ = 0.05)或 ts = 4T(△ = 0.02)
（2）单位脉冲响应——输入 r(t) = δ(t)，输出 g(t) = e-t/T / T ，t >0
特点：
●可以用时间常数去度量系统的输出量的数值。
●初始斜率为 -1/T2
●无超调，稳态误差 ess = 0。
（3）单位斜坡响应——输入 r(t) = t，输出 c(t) = t - T ＋ Te-t/T
特点：
●一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值与时间T相等。
●稳态误差 ess = T，初始斜率 = 0，稳态输出斜率 = 1。
（4）单位加速度响应——输入 r(t) = 0.5t2，输出 c(t) = 0.5t2 - Tt ＋ T2（1 - e-t/T），t 一阶系统不能跟踪加速度函数。
一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。一阶系统不能跟踪加速度函数。线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。
三.二阶系统的时域分析（以单位阶跃响应为例）二阶系统的数学模型
无阻尼二阶系统（即=0时)
●系统有两个纯虚根： s1,2 = 土 jwn 。wn为无阻尼振荡频率
●阶跃响应： c(t) = 1 - coswnt，t >0;
●系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。
线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部。
判别系统稳定性的基本方法：劳斯-赫尔维茨判据、根轨迹法、奈奎斯特判据、李雅普诺夫第二方法。
本章学习劳斯-赫尔维茨判据，简称劳斯判据。
所谓的系统的特征方程，指的是使闭环传递函数分母为0的方程，若开环函数 GH = A / B 、 C(s) = G / (1 + GH)，则其特征方程为 1 + GH = 0，即 A + B = 0，即 分母 + 分子 = 0。
注：如果给闭环传递函数G(s)，令分母为0，如果给开环传递函数G(s)，先求其闭环传递函数，再令分母为0。
稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。
稳态误差是指，稳态响应的希望值与实际值之差。误差的定义有两种：输出端定义和输入端定义（单位反馈时两种定义相同）
（1）根轨迹是指开坏系统某个参数由 0 变化到 ∞ ，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。
（2）开环零点指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。
（3）开环极点指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。
（4）闭环零点指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
（5）闭环极点指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益 K* 均有关。（K* → 0，开闭环极点相同。)
（6）根轨迹增益——K*为开环系统根轨迹增益。
闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及m <n可知)
（7）根轨迹法的基本任务由已知的开环零、极点分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。
1)由闭环特征方程得根轨迹方程：1＋G(s)H(s) = 0 → G(s)H(s) = -1
2)将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程。
法则1——根轨迹的分支数:根轨迹在s平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相同。
法则2——根轨迹对称于实轴:闭环极点若为实数，则位于s平面实轴；若为复数则共辄出现，所以根轨迹对称于实轴。
法则3——根轨迹的起点与终点:根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n 一m)条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。
法则4——实轴上的根轨迹:实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。
法则5——根轨迹的渐近线:渐近线与实轴交点的坐标
频率特性分为两种，分别是 A(ω) 幅频特性 和 φ(ω) 相频特性 。
对于一个一阶线性定常系统对正弦输入信号 Asinωt 的稳态输出 Ysin(ωt + ψ) ，仍是一个正弦信号，其特点：
①频率与输入信号相同；
②振幅 Y 为输入振幅A的 |G(jω)| 倍；
③相移为 ψ = ∠G(jω)。
振幅 Y 和相移 ψ 都是输入信号频率 ω 的函数，对于确定的 ω 值来说，振幅Y和相移 ψ 都将是常量。
|G(jω)| = Y / A 正弦输出对正弦输入的幅值比—幅频特性
∠G(jω) = ψ 正弦输出对正弦输入的相移—相频特性
理论上可将频率特性的概念推广的不稳定系统，但是，系统不稳定时，瞬态分量不可能消失，它和稳态分量始终同时存在，所以，不稳定系统的频率特性是观察不到的。
（1）幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。
（2）幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线）。对数频率特性曲线的横坐标是频率 ω ，并按对数分度，单位是[rad/s] . 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性分度，单位是[dB]，此坐标系称为半对数坐标系。对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性分度 , 单位是 (0) 或（弧度），频率特性G(jω) 的对数幅频特性定义如下
L（ω） = 20lg |G(jω)|
对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。
（3）对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：其特点是纵、横坐标都线性分度，对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
（1）起点：分子分母保留最低次方
（2）终点：分子分母保留最高次方
（3）若 Re[GH] = 0有解，则与虚轴相交
（4）若 Im[GH] = 0有解，则与实柚相交
（1）化 G(s) 为尾1标准型
（2）顺序列出转折频率 f
（3）确定基准线：
①基准点：（ ω = 1，L(1) = 20lgK ）
②斜率：-20vdB/dee
（4）叠加作图：
①一阶： 惯性环节 -20 dB
复合微分 +20 dB
②二阶： 振荡环节 -40 dB
复合微分 +40 dB
（5）修正：振荡环节中 ζ ∈ （0.38，0.8）
（6）检查：
①最右侧 K = -20（n - m）dB
②转折点数 = （惯性 + 一阶微分 + 二阶微分 + 振荡）
③ψ(ω) = -90o （n - m）
最小相角(相位)系统的零点、极点均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。
最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。
稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。主要表征 G(jω)H(jω) 轨迹靠近 (-1,j0) 点的程度
几个概念：
（1）增益交界频率 ωc：dB图中曲线与x轴的交点或GH平面中曲线与单位圆交点。（Im（GH）= 0）
（2）相位交界频率 ωg：GH平面中曲线与负实轴交点或相频图中与 -π 的交点。
（3）相位裕量γ：在增益交界频率 ωc 上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量（γ = π + ψ(ωc)）。
（4）幅值裕量（增益裕度）Kg：在相位交界频率 ωg 上，频率特性幅值|G(jω) H(jω)|的倒数。
暂不详述
第七章——线性系统的状态空间系统的外部描述——传递函数
系统的内部描述——状态空间描述（状态方程、输出方程）
系统具有松弛性、因果性、线性、定常性（时不变性）
几个基本概念
1).状态：表征系统运动的信息和行为。
2).状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量。
3).状态向量：x(t) = [x1(t)，x2(t)……xn(t)]
4).状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间
5).状态方程：例如：x(t) = f[x(t)，u(t)，t]
6).输出方程：例如：y(t) = g[x(t)，u(t)，t]
7).状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}
（1）串联分解
对于任意一个传递函数可化简为 G(s) = bn + N(s) / D(s)，令 g(s) = N(s) / D(s)，bn为前馈系数，设 z(s) 为中间变量。
齐次状态方程的解 x’ = Ax
（1）幂级数法
（1）基本定义
定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系
能控性：对状态变量的支配，通过能否找到使任意初态来确定终态。
能观性：系统输出能否反映状态变量，通过能否由输出量的测量值来确定各状态。
能控性：如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控)。
（1）基本定义：若存在一分段连续控制向量 u(t) ，能在[t0 ，tf]内将系统从任意状态 x(t0) 转移到任意终态 x(tf) ，则该系统完全能控。
能观性：如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的。
（1）基本定义：对任意给定 u(t)，在 [t0，tf] 内输出 y(t) 可唯一确定系统的初态x(t0) ，则系统是完全能观的。
对于线性定常系统S1和S2,其状态空间表达式分别为：
存在以下特性：系统特征值不变、系统传递矩阵不变、系统可控性不变、系统可观测性不变
线性定常系统结构分解（不详细展开）
（1）状态反馈：设原系统为 x’ = Ax + Bu，y = Cx + Du，引入状态反馈控制 u = v - Kx ，其中 K 为状态反馈阵。（图中圈起来的是原系统）
（1）状态反馈的极点配置
定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：原系统能控。
若系统 (A,B,C) 能控能观，用 x 形成状态反馈后，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即 K 和 H 的设计可以分别独立进行。
①引入观测器提高了系统的阶次（由n → 2n ）
②整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
③状态观测器的引入，不影响传递函数阵。且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。
1.李雅普诺夫意义下的稳定（1）如果对每个实数 ε > 0 都对应存在另一个实数 δ(ε，t0) 满足 || x0 - xe || <= δ(ε，t0)
（2）是李氏意义下的稳定；δ 与 t0无关，一致渐进稳定。
（3）大范围内渐进稳定性：若平衡状态 xe 为渐近稳定，且初始条件扩大至整个状态空间，则平衡状态 xe 叫大范围渐近稳定。
**若为线性系统(严格)：**如果它是渐进稳定的，必是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定。
若为非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在局域发散的轨迹。至于是否趋于无穷远外是否存在其它平衡状态。若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。
当 δ 与 t0无关，大范围一致渐进稳定。
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
（1）线性定常系统稳定性的特征值判据：
x’ = Ax，x(0) = x0，t >= 0
李氏稳定的充要条件： Re(λi) < 0，即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
（2）非线性系统的稳定性分析：
假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。
（1）几个定义：
①正定性：设有标量函数 V(x) ，如果对所有在 Ω 域中的非零状态，总有 V(x) > 0 ，且在 x=0 处，有 V(0)=0，则称标量函数 V(X) 在 Ω 域内均为正定。
②负定性：如果 -V(x) 是正定的，则 V(x) 就叫做负定的。
③正半定性：如果标量函数 V(x) 除了在原点及某些状态处等于零外，在 Ω 域的所有其它状态，都有 V(x)>0，则称 V(x) 在 Ω 域内是正半定的。
④负半定性：如果 -V(x) 是正半定的，则 V(x) 是负半定的。
⑤不定性：如果不管 Ω 域多么小，在 Ω 域内，V(x) 能正能负，则 V(x) 是不定的。
（2）判定二次型正定性的赛尔维斯特(Sylvester) 准则：
①二次型V(x)为正定的充要条件是：矩阵P的所有主子行列式为正，P又称为正定矩阵。即：
设 x’ = Ax；xe = 0，V(x) = xTPx → V(x) = xT（ATP + PA）x，令李雅普诺夫矩阵代数方程 ATP + PA = -Q，可得 V’(x) = xTQx，由渐进稳定性①，只要 Q 正定(即 V’(x，t) 负定)，则系统是大范围一致渐进稳定。
（1）定理：系统 x’ = Ax 大范围渐进稳定的充要条件为：给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵 P 使 ATP + PA = -Q 成立，且 xTPx = V(x) 为系统的一个李氏函数。
（2）方法1：给定P → Q → V(x)选取不定 → Q不定。给定正定Q → P → xTPx = V(x)，Q单位阵 → p的定号性。
（3）方法2：Q取正半定(②)即允许矩阵主对角线上部分元素为零 → V(x) 负半定 → 解得的P仍为正定。
（4）小结：线性系统，求李氏函数 V(x) 的步骤如下：
①选取矩阵Q，正定，正半定，一般 Q = I
②连续定常由 ATP + PA = -Q 或离散系统由 φTPφ - P = -Q 求出 P
③V(x) = xTPx，V(x(k)) = x(k)TPx(k)
小小的总结：
又完成一门，历时近四天，皇天不负有心人，总算是完成了，自控的知识好抽象呀(ಥ_ಥ) ，总结起来费了不少劲，不过感觉累并快乐着，复习完自控，大学期间最难理解的科目就算是全部整完了，接下来，我将从电力电子器件入手，进行总结！最近时间不多，我得抓紧时间复习，整理一些我认为比较重要的科目。感谢大家的支持！
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